import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(xdata,ydata)
(xdata,ydata为两个需要作图的数据集)
想象一下,您有一个线性方程组和不等式系统.这样的系统通常有许多可能的解决方案.线性规划是一组数学和计算工具,可让您找到该系统的特定解,该解对应于某些其他线性函数的最大值或最小值.
混合整数线性规划是 线性规划 的扩展.它处理至少一个变量采用离散整数而不是连续值的问题.尽管乍一看混合整数问题与连续变量问题相似,但它们在灵活性和精度方面具有显着优势.
整数变量对于正确表示自然用整数表示的数量很重要,例如生产的飞机数量或服务的客户数量.
一种特别重要的整数变量是 二进制变量 .它只能取 零 或 一 的值,在做出是或否的决定时很有用,例如是否应该建造工厂或者是否应该打开或关闭机器.您还可以使用它们来模拟逻辑约束.
线性规划是一种基本的优化技术,已在科学和数学密集型领域使用了数十年.它精确、相对快速,适用于一系列实际应用.
混合整数线性规划允许您克服线性规划的许多限制.您可以使用分段线性函数近似非线性函数、使用半连续变量、模型逻辑约束等.它是一种计算密集型工具,但计算机硬件和软件的进步使其每天都更加适用.
通常,当人们试图制定和解决优化问题时,第一个问题是他们是否可以应用线性规划或混合整数线性规划.
以下文章说明了线性规划和混合整数线性规划的一些用例：
随着计算机能力的增强、算法的改进以及更多用户友好的软件解决方案的出现,线性规划,尤其是混合整数线性规划的重要性随着时间的推移而增加.
解决线性规划问题的基本方法称为,它有多种变体.另一种流行的方法是.
混合整数线性规划问题可以通过更复杂且计算量更大的方法来解决,例如,它在幕后使用线性规划.这种方法的一些变体是,它涉及使用 切割平面 ,以及.
有几种适用于线性规划和混合整数线性规划的合适且众所周知的 Python 工具.其中一些是开源的,而另一些是专有的.您是否需要免费或付费工具取决于问题的规模和复杂性,以及对速度和灵活性的需求.
值得一提的是,几乎所有广泛使用的线性规划和混合整数线性规划库都是以 Fortran 或 C 或 C++ 原生和编写的.这是因为线性规划需要对（通常很大）矩阵进行计算密集型工作.此类库称为求解器.Python 工具只是求解器的包装器.
Python 适合围绕本机库构建包装器,因为它可以很好地与 C/C++ 配合使用.对于本教程,您不需要任何 C/C++（或 Fortran）,但如果您想了解有关此酷功能的更多信息,请查看以下资源：
基本上,当您定义和求解模型时,您使用 Python 函数或方法调用低级库,该库执行实际优化工作并将解决方案返回给您的 Python 对象.
几个免费的 Python 库专门用于与线性或混合整数线性规划求解器交互：
在本教程中,您将使用SciPy和PuLP来定义和解决线性规划问题.
在本节中,您将看到线性规划问题的两个示例：
您将在下一节中使用 Python 来解决这两个问题.
考虑以下线性规划问题：
你需要找到X和?使得红色,蓝色和黄色的不平等,以及不平等X 0和? 0,是满意的.同时,您的解决方案必须对应于z的最大可能值.
您需要找到的自变量（在本例中为 x 和 y ）称为 决策变量 .要最大化或最小化的决策变量的函数（在本例中为 z） 称为 目标函数 、 成本函数 或仅称为 目标 .您需要满足的 不等式 称为 不等式约束 .您还可以在称为 等式约束 的约束中使用方程.
这是您如何可视化问题的方法：
如果您忽略红色、蓝色和黄色区域,则仅保留灰色区域.灰色区域的每个点都满足所有约束,是问题的潜在解决方案.该区域称为 可行域 ,其点为 可行解 .在这种情况下,有无数可行的解决方案.
您想最大化z.对应于最大z的可行解是 最优解 .如果您尝试最小化目标函数,那么最佳解决方案将对应于其可行的最小值.
请注意,z是线性的.你可以把它想象成一个三维空间中的平面.这就是为什么最优解必须在可行区域的 顶点 或角上的原因.在这种情况下,最佳解决方案是红线和蓝线相交的点,稍后您将看到.
有时,可行区域的整个边缘,甚至整个区域,都可以对应相同的z值.在这种情况下,您有许多最佳解决方案.
您现在已准备好使用绿色显示的附加等式约束来扩展问题：
现在的解决方案必须满足绿色等式,所以呢可行区域不再是整个灰色区域.它是绿线从与蓝线的交点到与红线的交点穿过灰色区域的部分.后一点是解决方案.
如果插入x的所有值都必须是整数的要求,那么就会得到一个混合整数线性规划问题,可行解的集合又会发生变化：
您不再有绿线,只有沿线的x值为整数的点.可行解是灰色背景上的绿点,此时最优解离红线最近.
这三个例子说明了 可行的线性规划问题 ,因为它们具有有界可行区域和有限解.
如果没有解,线性规划问题是 不可行的 .当没有解决方案可以同时满足所有约束时,通常会发生这种情况.
例如,考虑如果添加约束x + y 1会发生什么.那么至少有一个决策变量（x或y）必须是负数.这与给定的约束x 0 和y 0相冲突.这样的系统没有可行的解决方案,所以呢称为不可行的.
另一个示例是添加与绿线平行的第二个等式约束.这两行没有共同点,所以呢不会有满足这两个约束的解决方案.
一个线性规划问题是 无界的 ,如果它的可行区域是无界,将溶液不是有限.这意味着您的变量中至少有一个不受约束,可以达到正无穷大或负无穷大,从而使目标也无限大.
例如,假设您采用上面的初始问题并删除红色和黄色约束.从问题中删除约束称为 放松 问题.在这种情况下,x和y不会在正侧有界.您可以将它们增加到正无穷大,从而产生无限大的z值.
在前面的部分中,您研究了一个与任何实际应用程序无关的抽象线性规划问题.在本小节中,您将找到与制造业资源分配相关的更具体和实用的优化问题.
数学模型可以这样定义：
最后,产品数量不能为负,所以呢所有决策变量必须大于或等于零.
与前面的示例不同,您无法方便地将其可视化,因为它有四个决策变量.但是,无论问题的维度如何,原理都是相同的.
在本教程中,您将使用两个Python 包来解决上述线性规划问题：
SciPy 设置起来很简单.安装后,您将拥有开始所需的一切.它的子包 scipy.optimize 可用于线性和非线性优化.
PuLP 允许您选择求解器并以更自然的方式表述问题.PuLP 使用的默认求解器是COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC).它连接到用于线性松弛的COIN-OR 线性规划求解器 (CLP)和用于切割生成的COIN-OR 切割生成器库 (CGL).
另一个伟大的开源求解器是GNU 线性规划工具包 (GLPK).一些著名且非常强大的商业和专有解决方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS.
除了在定义问题时提供灵活性和运行各种求解器的能力外,PuLP 使用起来不如 Pyomo 或 CVXOPT 等替代方案复杂,后者需要更多的时间和精力来掌握.
您可以使用pip以下方法安装两者：
您可能需要运行pulptest或sudo pulptest启用 PuLP 的默认求解器,尤其是在您使用 Linux 或 Mac 时：
在 MacOS 上,您可以使用 Homebrew：
在 Debian 和 Ubuntu 上,使用apt来安装glpk和glpk-utils：
在Fedora,使用dnf具有glpk-utils：
您可能还会发现conda对安装 GLPK 很有用：
安装完成后,可以查看GLPK的版本：
有关详细信息,请参阅 GLPK 关于使用Windows 可执行文件和Linux 软件包进行安装的教程.
在本节中,您将学习如何使用 SciPy优化和求根库进行线性规划.
要使用 SciPy 定义和解决优化问题,您需要导入scipy.optimize.linprog()：
现在您已经linprog()导入,您可以开始优化.
让我们首先解决上面的线性规划问题：
linprog()仅解决最小化（而非最大化）问题,并且不允许具有大于或等于符号 ( ) 的不等式约束.要解决这些问题,您需要在开始优化之前修改您的问题：
引入这些更改后,您将获得一个新系统：
该系统与原始系统等效,并且将具有相同的解决方案.应用这些更改的唯一原因是克服 SciPy 与问题表述相关的局限性.
下一步是定义输入值：
您将上述系统中的值放入适当的列表、元组或NumPy 数组中：
注意：请注意行和列的顺序！
约束左侧和右侧的行顺序必须相同.每一行代表一个约束.
来自目标函数和约束左侧的系数的顺序必须匹配.每列对应一个决策变量.
下一步是以与系数相同的顺序定义每个变量的界限.在这种情况下,它们都在零和正无穷大之间：
此语句是多余的,因为linprog()默认情况下采用这些边界（零到正无穷大）.
注：相反的float("inf"),你可以使用math.inf,numpy.inf或scipy.inf.
最后,是时候优化和解决您感兴趣的问题了.你可以这样做linprog()：
参数c是指来自目标函数的系数.A_ub和b_ub分别与不等式约束左边和右边的系数有关.同样,A_eq并b_eq参考等式约束.您可以使用bounds提供决策变量的下限和上限.
您可以使用该参数method来定义要使用的线性规划方法.有以下三种选择：
linprog() 返回具有以下属性的数据结构：
您可以分别访问这些值：
这就是您获得优化结果的方式.您还可以以图形方式显示它们：
如前所述,线性规划问题的最优解位于可行区域的顶点.在这种情况下,可行区域只是蓝线和红线之间的绿线部分.最优解是代表绿线和红线交点的绿色方块.
如果要排除相等（绿色）约束,只需删除参数A_eq并b_eq从linprog()调用中删除：
解决方案与前一种情况不同.你可以在图表上看到：
在这个例子中,最优解是红色和蓝色约束相交的可行（灰色）区域的紫色顶点.其他顶点,如黄色顶点,具有更高的目标函数值.
您可以使用 SciPy 来解决前面部分所述的资源分配问题：
和前面的例子一样,你需要从上面的问题中提取必要的向量和矩阵,将它们作为参数传递给.linprog(),然后得到结果：
opt.statusis0和opt.successis True,说明优化问题成功求解,最优可行解.
SciPy 的线性规划功能主要用于较小的问题.对于更大和更复杂的问题,您可能会发现其他库更适合,原因如下：
幸运的是,Python 生态系统为线性编程提供了几种替代解决方案,这些解决方案对于更大的问题非常有用.其中之一是 PuLP,您将在下一节中看到它的实际应用.
PuLP 具有比 SciPy 更方便的线性编程 API.您不必在数学上修改您的问题或使用向量和矩阵.一切都更干净,更不容易出错.
像往常一样,您首先导入您需要的内容：
现在您已经导入了 PuLP,您可以解决您的问题.
您现在将使用 PuLP 解决此系统：
第一步是初始化一个实例LpProblem来表示你的模型：
您可以使用该sense参数来选择是执行最小化（LpMinimize或1,这是默认值）还是最大化（LpMaximize或-1）.这个选择会影响你的问题的结果.
一旦有了模型,就可以将决策变量定义为LpVariable类的实例：
您需要提供下限,lowBound=0因为默认值为负无穷大.该参数upBound定义了上限,但您可以在此处省略它,因为它默认为正无穷大.
可选参数cat定义决策变量的类别.如果您使用的是连续变量,则可以使用默认值"Continuous".
您可以使用变量x和y创建表示线性表达式和约束的其他 PuLP 对象：
当您将决策变量与标量相乘或构建多个决策变量的线性组合时,您会得到一个pulp.LpAffineExpression代表线性表达式的实例.
注意：您可以增加或减少变量或表达式,你可以乘他们常数,因为纸浆类实现一些Python的特殊方法,即模拟数字类型一样__add__(),__sub__()和__mul__().这些方法用于像定制运营商的行为+,-和*.
类似地,您可以将线性表达式、变量和标量与运算符 ==、=以获取表示模型线性约束的纸浆.LpConstraint实例.
注：也有可能与丰富的比较方法来构建的约束.__eq__(),.__le__()以及.__ge__()定义了运营商的行为==,=.
考虑到这一点,下一步是创建约束和目标函数并将它们分配给您的模型.您不需要创建列表或矩阵.只需编写 Python 表达式并使用+=运算符将它们附加到模型中：
在上面的代码中,您定义了包含约束及其名称的元组.LpProblem允许您通过将约束指定为元组来向模型添加约束.第一个元素是一个LpConstraint实例.第二个元素是该约束的可读名称.
设置目标函数非常相似：
或者,您可以使用更短的符号：
现在您已经添加了目标函数并定义了模型.
注意：您可以使用运算符将 约束或目标附加到模型中,+=因为它的类LpProblem实现了特殊方法.__iadd__(),该方法用于指定 的行为+=.
对于较大的问题,lpSum()与列表或其他序列一起使用通常比重复+运算符更方便.例如,您可以使用以下语句将目标函数添加到模型中：
它产生与前一条语句相同的结果.
您现在可以看到此模型的完整定义：
模型的字符串表示包含所有相关数据：变量、约束、目标及其名称.
注意：字符串表示是通过定义特殊方法构建的.__repr__().有关 的更多详细信息.__repr__(),请查看Pythonic OOP 字符串转换：__repr__vs__str__ .
最后,您已准备好解决问题.你可以通过调用.solve()你的模型对象来做到这一点.如果要使用默认求解器 (CBC),则不需要传递任何参数：
.solve()调用底层求解器,修改model对象,并返回解决方案的整数状态,1如果找到了最优解.有关其余状态代码,请参阅LpStatus[].
你可以得到优化结果作为 的属性model.该函数value()和相应的方法.value()返回属性的实际值：
model.objective持有目标函数model.constraints的值,包含松弛变量的值,以及对象x和y具有决策变量的最优值.model.variables()返回一个包含决策变量的列表：
如您所见,此列表包含使用 的构造函数创建的确切对象LpVariable.
结果与您使用 SciPy 获得的结果大致相同.
注意：注意这个方法.solve()——它会改变对象的状态,x并且y！
您可以通过调用查看使用了哪个求解器.solver：
输出通知您求解器是 CBC.您没有指定求解器,所以呢 PuLP 调用了默认求解器.
如果要运行不同的求解器,则可以将其指定为 的参数.solve().例如,如果您想使用 GLPK 并且已经安装了它,那么您可以solver=GLPK(msg=False)在最后一行使用.请记住,您还需要导入它：
现在你已经导入了 GLPK,你可以在里面使用它.solve()：
该msg参数用于显示来自求解器的信息.msg=False禁用显示此信息.如果要包含信息,则只需省略msg或设置msg=True.
您的模型已定义并求解,所以呢您可以按照与前一种情况相同的方式检查结果：
使用 GLPK 得到的结果与使用 SciPy 和 CBC 得到的结果几乎相同.
一起来看看这次用的是哪个求解器：
正如您在上面用突出显示的语句定义的那样model.solve(solver=GLPK(msg=False)),求解器是 GLPK.
您还可以使用 PuLP 来解决混合整数线性规划问题.要定义整数或二进制变量,只需传递cat="Integer"或cat="Binary"到LpVariable.其他一切都保持不变：
在本例中,您有一个整数变量并获得与之前不同的结果：
Nowx是一个整数,如模型中所指定.（从技术上讲,它保存一个小数点后为零的浮点值.）这一事实改变了整个解决方案.让我们在图表上展示这一点：
如您所见,最佳解决方案是灰色背景上最右边的绿点.这是两者的最大价值的可行的解决方案x和y,给它的最大目标函数值.
GLPK 也能够解决此类问题.
现在你可以使用 PuLP 来解决上面的资源分配问题：
定义和解决问题的方法与前面的示例相同：
在这种情况下,您使用字典 x来存储所有决策变量.这种方法很方便,因为字典可以将决策变量的名称或索引存储为键,将相应的LpVariable对象存储为值.列表或元组的LpVariable实例可以是有用的.
上面的代码产生以下结果：
让我们把这个问题变得更复杂和有趣.假设由于机器问题,工厂无法同时生产第一种和第三种产品.在这种情况下,最有利可图的解决方案是什么?
现在您有另一个逻辑约束：如果x ? 为正数,则x ? 必须为零,反之亦然.这是二元决策变量非常有用的地方.您将使用两个二元决策变量y ? 和y ?,它们将表示是否生成了第一个或第三个产品：
除了突出显示的行之外,代码与前面的示例非常相似.以下是差异：
这是解决方案：
事实证明,最佳方法是排除第一种产品而只生产第三种产品.
就像有许多资源可以帮助您学习线性规划和混合整数线性规划一样,还有许多具有 Python 包装器的求解器可用.这是部分列表：
其中一些库,如 Gurobi,包括他们自己的 Python 包装器.其他人使用外部包装器.例如,您看到可以使用 PuLP 访问 CBC 和 GLPK.
您现在知道什么是线性规划以及如何使用 Python 解决线性规划问题.您还了解到 Python 线性编程库只是本机求解器的包装器.当求解器完成其工作时,包装器返回解决方案状态、决策变量值、松弛变量、目标函数等.
也可以使用Structure查看函数,直接就可以定位到函数位置
函数定义：
Minimum_common_multiple(*number):? # 求任意多个数的最大公因数
程序缩进如下：
程序缩进
运行结果展示：
运行结果
while len(number) 1:
number = [Common_multiple(number[i], number[i+1]) for i in range(0, len(number)-1)]
return number[0]
def Minimum_common_multiple(*number):? # 求任意多个数的最大公因数
number = [number[i]*number[i+1]/Common_multiple(number[i], number[i+1]) for i in range(0, len(number)-1)]
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